Loi de refroidissement de Newton

Partie A : approche expérimentale

Un jour, juste avant une heure de permanence, Victoria et Hector, élèves de terminale, se retrouvent à la cafétéria des élèves. Comme d’habitude, Hector prend un thé à la machine à café et Victoria, un chocolat chaud.
Hector adore le thé, mais seulement lorsqu'il n'est pas chaud, mais juste tiède.
Bien évidemment la machine à café ne sert le thé que très, très chaud.
Après avoir obtenu leur boisson, Victoria et Hector s'assoient à une table. Victoria, qui adore les sciences expérimentales, propose à son camarade de plonger un capteur de température dans son thé.

Hector : Pourquoi faire ?
Victoria : Pour estimer combien de temps il faut attendre avant que tu puisses boire ton thé à la température idéale pour toi, comme ça tu le sauras pour une prochaine fois.
Hector : C'est encore un truc de geek ça.
Victoria : Arrête, cela t'amuse aussi ! Tiens, plonge le thermomètre et dis-moi, minute par minute, la température que tu lis. De toute façon, on a une demi-heure de perm...
Hector : Déjà qu'on fait ça, faisons-le bien jusqu'au bout... Je te donne la différence entre la température du thé et celle de la cafétéria.
Victoria : Euh... pourquoi ?
Hector : Je ne sais pas trop, mais je me dis que comme ça c'est une mesure plus « absolue » qui ne dépend pas de l'environnement.
Victoria : Je ne suis pas sûre de cela, mais pourquoi pas, je te suis. Tiens, il fait \(22\)°C ici.

Le tableur suivant montre les données récoltées par Victoria et Hector.

1. Estimer après combien de temps la température du thé atteint \(40\) °C.
2. Réaliser un ajustement exponentiel et exprimer la température du thé d'Hector en fonction du temps (en minutes).

Partie B : modélisation

Cette partie a pour objectif de déterminer une modélisation du phénomène physique du refroidissement des corps dans un milieu à température constante, à partir de l'expérience de mesure du refroidissement du thé d'Hector.

On note :

• \(T\) la fonction qui, à chaque instant `t`, en secondes, associe la température du thé ;
  
• \(T_\text{env}\) la température ambiante : dans notre exemple, `T_\text{env}=22°\text{C}`.
  

1. Dans le tableur suivant, calculer, dans la colonne C, le taux de variation \(\dfrac{\Delta T}{\Delta t}\) de la température pour chaque minute écoulée.
2. Représenter le nuage de points \(\Big (T-T_\text{env}~;\dfrac{\Delta T}{\Delta t}\Big)\). Un ajustement affine semble-t-il pertinent ?
3. Estimer le coefficient directeur \(k\) de l'ajustement affine, puis justifier que, suivant cet ajustement affine, \(\dfrac{\Delta T}{\Delta t}=-k(T-T_\text{env})\).

4. Que devient le taux de variation lorsque l'intervalle de temps entre deux mesures devient très petit, autrement dit, tend vers \(0\) ?
5. Conclure que la température en fonction du temps est modélisée par une fonction \(T\) telle que  \(\dfrac{\text{d} T}{\text{d} t}=-k(T-T_\text{env})\) où la notation \(\dfrac{\text{d}T}{\text{d}t}\) représente la dérivée de la fonction \(t\) par rapport au temps.
6. Pour quelle valeur de \(k\) l'ajustement exponentiel, déterminé dans la partie A, est solution de cette équation ? Interpréter le sens physique du coefficient \(k\) et en préciser l'unité de mesure.  

Partie C : histoire et bilan

Au début du XVIII^e siècle, Isaac Newton observe que, lorsqu’un objet chaud est placé dans un environnement plus froid, il perd de la chaleur. Ses expériences l’amènent à formuler une loi physique simple, mais puissante : la vitesse de refroidissement d’un objet est proportionnelle à la différence de température entre l’objet et son environnement.

On considère :

• \(T(t)\) : la température de l’objet à l’instant \(t\) ;
• \(T_{\text{env}}\) : la température constante de l’environnement ;
  
• \(k > 0\) : une constante liée aux propriétés du système (matériau, surface, etc.).
  

La loi se traduit par l’équation différentielle suivante : \(\dfrac{dT}{dt} = -k (T - T_{\text{env}})\).

Cette équation exprime que, plus \(T(t)\) est éloignée de \(T_{\text{env}}\)​, plus la variation est rapide. Le signe négatif indique que la température de l’objet diminue avec le temps (refroidissement). Cette équation est une équation différentielle linéaire du premier ordre.

Sa solution générale est : \(T(t) = T_{\text{env}} + (T_0 - T_{\text{env}}) \cdot \text{e}^{-kt}\), où :

• \(T_0 = T(0)\) est la température initiale de l’objet au temps \(t=0\) ;
• \(\text{e}^{-kt}\) est un facteur exponentiel décroissant dans le temps.
  

Ainsi :

• la température de l’objet diminue de façon exponentielle ;
• elle se rapproche progressivement de celle de l’environnement sans jamais vraiment l’atteindre ;
• la constante \(k\) détermine la rapidité du refroidissement.